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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales (Anterior)

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7. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
h) {x∈R/ x+1x<2x}\left\{x\in\mathbb{R}\text{/}\ \frac{x+1}{x}<\frac{2}{x}\right\}

Respuesta

Reducimos la expresión a una sola fracción

x+1x<2x\frac{x+1}{x}<\frac{2}{x}

x+1x−2x<0\frac{x+1}{x}-\frac{2}{x}<0   

Tenemos una resta de fracciones de igual denominador

x+1−2x<0\frac{x+1-2}{x}<0 

x−1x<0\frac{x-1}{x}<0
Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero ( <0<0 ), la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el diferente signo. De esta forma podemos platear dos casos:  

Caso 1:

x−1>0x-1>0   y    x<0x<0

x>1x>1    y   x<0x<0

2024-03-09%2016:10:43_5847697.png

No existen valores de x que cumplen estas condiciones. Por lo tanto el caso 1 no tiene solución: S1=∅S_1 = \emptyset


Caso 2:

x−1<0x-1<0   y    x>0x>0

x<1x<1    y   x>0x>0

2024-03-09%2016:10:35_6504695.png

Los valores de x que cumplen estas condiciones son los valores x<0x<0. Por lo tanto la solución del caso 2 estará dada por los valores de x pertenecientes al conjunto (0,1)\left(0,1\right). Es decir, S2= (0,1)S_2 = \left(0,1\right).



Por lo tanto la solución total será la solución del caso uno (S2S_2):

Solución:  x∈(0,1)x\in\left(0,1\right) 

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